Проекции точки

It`s help you!   By Taras, Stavropol.

На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)

ПРОЕКЦИИ

ТОЧКИ.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущность метода ортогонального прое­цирования

заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендику­лярные

плоскости лучами, ортогональны­ми (перпендикулярными) к этим плоско­стям..

Одну из плоскостей проекций Hраспо­лагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость Hназы­вают горизонтальной плоскостью проек­ций,

V— фронтальной. Плоскости Hи V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения

плоскостей проекций называ­ется осью

координат и

обозначается OX. Плоскости

проекций делят пространст­во на четыре двугранных угла — четверти.

Рассматривая ортогональные проекции, предполагают,

что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей

проекций. Так как эти плоскости непрозрачны,

то види­мыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые располо­жены в пределах той же первой четверти.

При построении проекций необходимо по­мнить,

что ортогональной проекцией точки на плоскость называется

основание пер­пендикуляра, опущенного из данной точки
на

эту плоскость.

На рисунке показаны точка А и ее орто­гональные

проекции а1 и а2.

Точку а1 называют

горизонталь­ной

проекцией


точки А, точку а2 — ее фронтальной

проекцией
. Каждая из них является основанием перпендику­ляра, опущенного из точки А соответ­ственно

на плоскости H и V.

Можно доказать, что проекции точки всегда

расположены на прямых, перпенди­
кулярных оси ОХ и

пересекающих эту ось
в одной и той же точке. Действительно, проецирующие

лучи Аа1 и Аа2 определя­ют

плоскость, перпендикулярную плоско­стям

проекций и линии их пересечения — оси

ОХ.
 Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 аxи а1 аx,, которые образуют с осью OXи друг с другом прямые углы с

вершиной в точке аx.

Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a1и a2, расположенные

на прямых, пересекающих
ось OX в

данной точке под прямым углом,
то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется

пересече­нием перпендикуляров, восставленных из точек aи  a2  к плоскостям H и V.

Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может

оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными,

могут быть вертикальными Но и в этом случае дока­занное выше предположение об

ориентации разноименных проекций точек

относи­тельно оси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоя­щий из указанных выше

проекций, плос­кость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками

на рисунке. В результате пе­редняя полуплоскость H будет совмещена с нижней

полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полупло­скостью V.

Проекционный чертеж, на котором плос­кости проекций со всем

тем, что на них изображено, совмещены

определенным об­разом одна с другой, называется эпю­ром (от франц. еpure – чертеж).

На рисунке показан эпюр точки А .

При таком способе совмещения плоско­стей H и V проекции a1и a2окажутся расположенными на

одном перпендикуля­ре к оси OX. При этом расстояние a1axот горизонтальной проекции

точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a2axот фронтальной

проекции точки до оси OXравно расстоянию от самой

точки А до плоскости H.

Прямые линии, соединяющие разнои­менные

проекции точки на эпюре, усло­вимся называть линиями проекци­онной связи.

Положение проекций точек на эпюре зависит от

того, в какой четверти находит­ся данная точка. Так, если точка В распо­ложена во второй четверти,

то после совмещения плоскостей обе проек­ции окажутся лежащими над осью OX.

Если точка С находится в третьей чет­верти, то ее горизонтальная проекция по­сле совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX. На­конец, если точка Dрасположена в чет­вертой

четверти, то обе проекции ее окажутся под

осью OX.На

рисунке пока­заны точки М и N,

лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, дру­гая же проекция ее оказывается лежа­щей на оси OX.Эта особенность отражена и в

обозначении: около той проекции, с ко­торой совпадает сама точка, пишется за­главная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или чет­вертой четверти на одинаковом расстоя­нии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой,

если послед­няя расположена на оси OX.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ

ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Выше было показано, что две проекции точки

определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и

две орто­гональные проекции предмета

(при нали­чии буквенных

обозначений) вполне опре­деляют его

форму.

Однако в практике изображения строи­тельных

конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необ­ходимость

в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью

— сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана

на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается бук­вой W и

называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость будут также

именоваться профильными, а обоз­начают их заглавными буквами или циф­рами с индексом 3 (aз, bз, cз, … 1з, 2з, 33…).

Плоскости проекций, попарно пересека­ясь,

определяют три оси: ОX, ОYи ОZ, которые

можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в

пространстве с началом в точке О. Сис­тема знаков, указанная на рисунке, со­ответствует

«правой системе» координат.

Три плоскости проекций делят про­странство на

восемь трехгранных углов — это так называемые октанты. Нумера­ция октантов дана на рисунке.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель,

рассматривающий предмет, находит­ся в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости H и W вращают,

как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результа­те вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью

V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZпередняя полуплоскость W

совместится с правой полуплоскостью V, а

задняя полупло­скость W — с

левой полуплоскостью V.

Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на

рисунке. На этом чертеже оси ОXи ОZ, лежащие

в не подвижной плоскости V,

изображены только

один раз, а ось ОYпоказана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОYна эпюре совме­щается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с

осью ОX.

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, ОY, ОZ) указываться не будут.

ТРИ

КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.

Координатами называют числа, которые ставят

в соответствие точке для определе­
ния ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью

прямоу­гольных декартовых координат х, у и z.

Координату х называют абсциссой, у ординатой и zаппликатой. Абсцисса х определяет

расстояние от дан­ной точки до плоскости W, ордината у — до

плоскости V и аппликата zдо плос­кости H. Приняв для отсчета координат точки

систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех

восьми октантах. Ка­кая-либо точка пространства А, заданная

координатами, будет обозначаться так: A (х,

у,
z).

Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет

следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ­ка А, все    координаты которой

положитель­ны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе

с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k

единичные векторы, направ­ленные соответственно вдоль координат­ных осей х, у, z(рисунок), то

ОА =

ОAxi+ОАyj+ ОАzk                                      ,где ОАХ,

ОАУ, ОАг
координаты векто­ра ОА

Построение изображения самой точки

и ее проекций

на пространственной модели (рисунок)

рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез­ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини­цам длины. На этих отрезках ( Оax, Оay, Оaz), как на ребрах, строят

прямоугольный параллелепипед. Вершина его,

проти­воположная началу координат, и

будет определять заданную точку А.

Легко заме­тить, что для

определения точки А доста­точно

построить только три ребра парал­лелепипеда,

например Оax, axa1  и a1Аили Оay, aya1  и a1A    и т.

д. Эти ребра образу­ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой

определяется со­ответствующей координатой

точки.

Однако построение параллелепипеда по­зволяет

определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плос­кости H, V, W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.

Каждая из ортогональных проекций точки

А, будучи расположенной на плоско­сти, определяется только двумя координа­тами.

Так, горизонтальная проекция a1опре­деляется

координатами х и у, фронтальная проекция a2 — координатами х и z, про­фильная проекция a3координатами

у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно за­данию точки тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции

a1и a2окажутся

на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a2 и a3  — на одном пер­пендикуляре к оси OZ.

 

Что касается проекций a1 и a3 , то и

они связаны прямыми a1ayи a3ay, перпендикулярными оси ОY. Но так как эта ось на

эпюре занимает два положения, то отре­зок a1ay не может быть продолжением

отрезка  a3ay.

Построение проекций точки А (5, 4, 6) на

эпюре по заданным координатам выполня­ют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают

отрезок Оax= х (в нашем случае х = 5), затем

через точку ax прово­дят перпендикуляр к оси ОX, на котором с учетом знаков откладываем отрезки axa1 = у (получаем

a1 )и axa2 = z(получаем a2 ). Остается построить профильную проекцию точки a3 . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть

расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a3проводят прямую  a2az^OZ.

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси

ОZдолжна находиться  a3 ?

Рассматривая координатный параллелепипед

(см. рисунок), ребра которого aza= Oayaxa1 = y заключаем, что ис­комое расстояние aza3  равно у. Отрезок aza3

откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.

Проследим за тем, какие изменения про­изойдут

на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет

перемещаться по прямой, перпендикуляр­ной плоскости V. При таком движении будет

меняться только одна координата у, показывающая расстояние от

точки до плоскости V. Постоянными будут оста­ваться координаты х

и
z, а проекция

точ­ки, определяемая этими координатами, т. е. a2 не изменит своего

положения.

Что касается проекций a1 и a3 , то

пер­вая

начнет приближаться к оси ОX, вто­рая — к оси ОZ. На рисунках новому положению точки соответствуют обозначе­ния

a1(a1a2a31 ). В тот момент, когда точка

окажется на плоскости V (y

= 0), две из трех проекций      (a12и a32) будут лежать на осях.

Переместившись из I

октанта во II, точ­ка начнет удаляться от плоскостиV, ко­ордината у станет отрицательной, ее

абсо­лютная величина будет возрастать. Горизонтальная

проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскостиH, на эпюре окажется выше

оси ОX, а профильная проекция, находясь

на задней полуплоскости W,  на эпюре будет слева от оси ОZ. Как всегда, отрезок az a33 = у.

На последующих эпюрах мы не станем обозначать

буквами точки пересечения ко­ординатных осей с линиями проекционной связи.

Это в какой-то мере упростит чер­теж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных

осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда

существенно только само изображе­ние предмета, а не его

положение относи­
тельно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае определены

с точностью лишь до параллельно­го переноса (рисунок). Их обычно переме­щают

параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказа­лись над плоскостью H и перед плоско­стью V. Так

как положение оси X12 оказы­вается

неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной

оси. При переходе к эпюру плоскости H и Vсовмещают так, чтобы разноименные

проекции точек были распо­ложены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рисунок)

не определяет их положения в пространстве, но

позволяет судить об их относительной ориентировке.
Так,

отрезок △x характери­зует смещение точки А по отношению к точке В в

направлении, параллельном плоскостям H и V.

Иными словами, △x указывает, насколько точка

А расположе­на левее точки В. Относительное смещение точки в

направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т.

е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на

расстоя­ние, равное △y.

Наконец, отрезок △z показывает превы­шение точки А над точкой В.

Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии

справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей

координат. Однако полный отказ от них нельзя при­знать целесообразным.

Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к

грамотному выпол­нению чертежей, но и к решению различ­ных технических задач,

среди которых не последнее место занимают задачи про­странственной статики и

механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной

предмет отно­сительно декартовых осей координат. Ука­занные навыки будут

необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как

перспектива и аксономет­рия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем

изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму

предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
allbest-referat.ru
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.